Дээд математик-1 лекц

Батлав. Тэнхимийн эрхлэгч:……………………..Н. Цэрмаа

Лекц №1

Лекцийн хичээлийн сэдэв: Матриц, матриц дээр хийх үйлдлүүд, тодорхойлогч, түүний чанарууд

Лекцийн хичээлийн агуулга: Матрицын тухай ойлголт, матрицуудыг нэмэх, тоогоор үржих, матрицуудыг үржүүлэх, хөрвүүлэх, зэрэгт дэвшүүлэх  үйлдлүүдийг хийж гүйцэтгэх, тодорхойлогч, түүний чанарууд, тодорхойлогчийн тухай ойлголт, 2 ба 3 – р эрэмбийн тодорхойлогчийг бодох аргууд, тодорхойлогчийн чанар ашиглан дээд эрэмбийн тодорхойлогчуудыг бодох

Матриц

    m мөр n багана болгон бичсэн тоонуудын хүснэгтийг mxn хэмжээст матриц гэнэ. Матрицыг бүрдүүлж байгаа тоонуудыг матрицын элементүүд гэх ба a_ij гэж тэмдэглэнэ. Үүнд i мөрийн, j баганы дугаар болно. Матрицыг ихэвчлэн A, B, C,... гэх мэт том үсгүүдээр тэмдэглэдэг

  Матрицын хэлбэрүүд

•   Зөвхөн ганц мөрөөс тогтсон матрицыг мөр матриц гэнэ. 
•   Зөвхөн ганц баганаас тогтсон матрицыг багана матриц гэнэ.
•   Матрицын мөрийн тоо баганы тоо  тэнцүү n бол n эрэмбийн квадрат матриц гэнэ.
•   Квадрат матрицын зүүн дээд булангаас баруун доод булан хүртлэх элементүүдийг гол диагоналийн элементүүд гэх ба гол диагоналийн элементүүдээс бусад бүх элементүүд нь 0 байх матрицыг диагональ матриц гэнэ. Диагональ матрицыг ихэвчлэн D үсгээр тэмдэглэдэг.
•   Диагональ матрицын   гол диагоналийн элементүүд бүгд 1 бол нэгж матриц гэнэ . Нэгж матрицыг E үсгээр тэмдэглэдэг.
•   Хэрэв матрицын бүх элемент 0 бол уг матрицыг тэг матриц гэнэ.

Жишээ:

·         ( 1  3  4  2  4 ) , мөр матриц

·         , багана матриц

·           , гуравдугаар эрэмбийн квадрат матриц

·          , диагональ мартиц

·         , гуравдугаар эрэмбийн нэгж матриц

·         ,  тэг матриц

Матриц дээр хийх үйлдлүүд

1.         Матрицуудыг нэмэх. Адил хэмжээст хоёр матрицыг нэмэхдээ ижил байранд байгаа элементүүдийг харгалзан нэмнэ. Матрицын  хасах үйлдэл нэмэх үйлдэлтэй мөн ижилхэнээр гүйцэтгэгдэнэ.

Жишээ:

                    

2. Матрицыг тоогоор үржих. Матрицыг тоогоор үржүүлэхдээ матрицын бүх элементийг тэр тоогоор үржинэ.

Жишээ:

                                

 Матрицуудыг үржүүлэх. Нэгдүгээр матрицын баганы тоо хоёрдугаар матрицын мөрийн тоотой тэнцүү үед л хоёр матрицыг үржүүлж болно. mxn хэмжээст матрицыг nxk хэмжээст матрицаар үржүүлэхэд mxk хэмжээст матриц гарна.

A_mxnB_nxk = C_mxk

   C_mxk  матрицын c_ij элементийг матрицын A_mxn i дүгээр мөрийн элементүүдийг B_nxk матрицын j дүгээр баганын элементүүдээр харгалзан үржүүлсэн үржвэрүүдийг нэмж олно.

           Санамж: AB = BA байх албагүй.  

Жишээ:

3. Матрицыг хөрвүүлэх. Матрицын мөрүүдийн дугаарыг өөрчлөхгүйгээр багана болгон бичихийг хөрвүүлэх үйлдэл гэнэ.  матрицын хөрвөсөн матрицыг  гэж тэмдэглэнэ.

     Жишээ.

                   бол А-н хөрвөсөн матриц    байна.

Тодорхойлогч

   nxn хэмжээст квадрат матриц бүхэнд тодорхойлогч гэж нэрлэгдэх нэг тоо харгалзана. Хэрэв А нь nxn хэмжээст квадрат матриц бол түүний тодорхойлогчийг n дүгээр эрэмбийн тодорхойлогч гэх ба IAI, detA, D буюу

         гэж тэмдэглэнэ.

     Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг дараах томъёоны тусламжтайгаар олно.

Жишээ:

   Гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг дараах томъёогоор олно.

    Энэ томъёоноос гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг бодох дараах схемийг байгуулж болно.

Жишээ:

Тодорхойлогчийн чанарууд

1. Тодорхойлогчийг хөрвүүлэхэд тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй.
2. Аль нэг мөрийн(баганы) элемементүүд нь бүгд тэг байх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү.  
3. Тодорхойлогчийн хоёр мөрийн(баганы) байрыг солиход. тодорхойлогчийн тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
4. Ижил мөрүүдтэй(багануудтай) тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү.
5. Тодорхойлогчийг тоогоор үржүүлэхдээ тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн (баганы) элементүүдийг тэр тоогоор үржинэ.
6. Пропорцианаль мөрүүдтэй (багануудтай) тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү.
7. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн (баганы) элементүүд дээр өөр мөрийн (баганы) харгалзах элементүүдийг ямар нэг тоогоор үржүүлж нэмэхэд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

Тодорхойлогчийн a_ij элементийн орших мөр баганыг дарахад үлдсэн элементүүдээр зохиосон тодорхойлогчийг a_ij  элементийн минор гэж нэрлээд M_ij  гэж тэмдэглэнэ.

 Мөн

                       A_ij = (-1)^i+jM_ij –г a_ij элементийн алгебрийн гүйцээлт гэнэ.

Жишээ нь:

 тодорхойлогчийн a₁₁ элэментийн

алгебрийн гүйцээлт нь

A₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ буюу

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ байна.

8. Тодорхойлогчийн аль нэг мөрийн (баганы) элементүүдийг харгалзах алгебрийн гүйцээлтүүдээр үржүүлж нэмсэн нийлбэр уул тодорхойлогчтой тэнцүү.

detA = a_i1 A_i1+ a_i2 A_i2+...+a_inA_in , i = 1,2,3,...,n

үүнийг тодорхойлогчийг i дүгээр мөрөөр нь задалсан задаргаа гэнэ.

9.      ба

 байна.

n эрэмбийн тодорхойлогчийг дээрх чанаруудыг ашиглаж бодно.

Жишээ: Дараах тодорхойлогчийг бод

Бодолт:

1. 8-р чанарыг ашиглаж бодъё.

Тодорхойлогчийг нэгдүгээр мөрөөр нь задалж бодвол

2.         7 ба 8 дугаар чанаруудыг хамтад нь хэрэглэх замаар өгөдсөн тодорхойлогчийг бодъё.

тодорхойлогчийн нэгдүгээр мөрийн элементүүдийг   (–2) оор үржүүлж гуравдугаар мөрийн элементүүд дээр нэмбэл

болох ба нэгдүгээр баганаар задалж бодвол

3. 7 ба 9 дүгээр чанарыг ашиглая.

тодорхойлогчийн нэгдүгээр мөрийн элементүүдийг   (–2) оор үржүүлж гуравдугаар мөрийн элементүүд дээр нэмбэл

тодорхойлогч гарах ба хоёрдугаар мөрийн элементүүдийг (-) ээр үржүүлж гуравдугаар мөр дээр нэмье.

 Одоо мөн хоёрдугаар мөрийн элементүүдийг (–2) оор үржүүлж дөрөвдүгээр мөрийн элементүүд дээр нэмбэл

болох бөгөөд гуравдугаар мөрийн элементүүдийг      (-) өөр үржүүлж дөрөвдүгээр мөрийн элементүүд дээр нэмээд тодорхойлогчийг бодъё.

Дүгнэлт: Асуулт, хариулт 5 мин

Ирц бүртгэл 5 мин